Unidad 8: Programación lineal#

Contenido de la unidad#

Optimización con restricciones#

La optimización con restricciones es una rama de la optimización matemática que se ocupa de encontrar el máximo o mínimo de una función objetivo en presencia de restricciones sobre los valores que pueden tomar las variables de la función. Estas restricciones definen una región factible, dentro de la cual debe encontrarse la solución óptima. La optimización con restricciones es fundamental en diversas áreas como la ingeniería, la economía, y la gestión de operaciones, ya que muchos problemas del mundo real no sólo requieren optimizar un objetivo, sino también cumplir con ciertos límites o condiciones.

Tipos de Restricciones Las restricciones pueden clasificarse en dos categorías principales:

Restricciones de Igualdad: Son aquellas que establecen que una función de las variables debe ser igual a un valor específico. Por ejemplo, \(x+y=10\). Restricciones de Desigualdad: Establecen que una función de las variables debe ser menor o igual (o mayor o igual) a un valor específico. Por ejemplo, \(x+y≤10\) o \(x−2y≤5\).

Programación Lineal: Una Visión General#

La programación lineal es una técnica matemática utilizada para encontrar el mejor resultado posible (como el costo mínimo o el beneficio máximo) en un modelo matemático cuyos requisitos están representados por relaciones lineales. Es ampliamente aplicada en diversas áreas como negocios, economía, ingeniería y militar, para resolver problemas de optimización.

Métodos de Solución en Programación Lineal#

Método Gráfico: Un Enfoque Visual#

  1. Representación Gráfica de Restricciones: Este método implica dibujar las ecuaciones de restricción en un plano bidimensional.

  2. Identificación de la Región Factible: La intersección de las restricciones forma una región factible.

  3. Optimización: El punto óptimo se encuentra en uno de los vértices de la región factible.

Método Simplex: Solución para Casos Complejos#

  1. Formulación y Tabulación: Transformar el problema en una forma estándar y tabular los datos.

  2. Iteraciones: Realizar iteraciones, modificando las variables básicas y no básicas.

  3. Criterio de Parada: El proceso finaliza cuando se alcanza la solución óptima.

Investigación de operaciones#

Conjunto de pasos para lograr la optimización de procesos.

Naturaleza de la I.O#

Toma de decisiones en situaciones de la vida real.

Procedimiento:

  1. Estructura de los sistemas reales en un modelo matemático.

  2. Exploración de las soluciones y desarrollo de un métodos para resolverlas.

  3. Busqueda de soluciones óptimas o de una solución factible.

Pasos para la formulación de un modelo.#

Tip

A tener en cuenta:

  1. Objetivo del problema a resolver

  2. Quien va a tomar la decisión.

  3. Qué aspectos están bajo control.

  4. Qué aspectos no están bajo control.

  • Variables de decisión: Son las “n” medidas cuantitativas a formar. Se representan como \(x_1, x_2, ..., x_n\). Su resultado resuelve el problema.

  • Función objetivo: Es la función que se desea maximizar o minimizar, se le llama función de costo. Se representa como \(Z = f(x_1, x_2, ..., x_n)\). En resumen, es una función Z que depende de las variables de decisión

  • Restricciones estructurales: Son las limitaciones, condiciones, requerimientos del problema. Se representan como desigualdades o ecuaciones en función de las variables de decisión. \(g_i(x_1, x_2, ..., x_n) \leq b_i\).

  • Restricciones de rango o positividad: \(x_i,x_1,x_2,...,x_n \geq 0\).

Aplicaciones Prácticas#

Estos métodos se utilizan en la planificación de recursos, logística, y toma de decisiones en escenarios de recursos limitados, mostrando su relevancia en el mundo real.

Ejemplo:#

Una empresa se dedica a la prodcucciónn de pintura para interiores y exteriores. La utilidad por tonelada es de 500 para interiores y 300 para exteriores. Para la producción de las pinturas se utilizan 2 materias primas. La disponibilidad máxima de la materia prima “1” es 20 ton/dia y la materia prima “2” es 9 ton/dia. Los requerimientos diarios son:

Materia Prima

Interiores

Exteriores

Materia Prima 1

3

7

Materia Prima 2

4

1

Un estudio de mercado ha establecido que la demanda diaria de pintura para exteriores no puede ser mayor que la pintura para interiores en más de una tonelada. Además, el estudio señala que la demanda máxima de pintura para interiores se limita a 4 ton/dia. ¿Cuantas toneladas de cada pintura se debe producir diariamente para maximizar los ingresos?.

Solución:#

Variables de decisión:

  • \(x_1\) = toneladas de pintura para interiores a producir por día.

  • \(x_2\) = toneladas de pintura para exteriores a producir por día.

Función objetivo:

Maximizar \(Z = 500x_1 + 300x_2\)

Restricciones estructurales:

  • \(3x_1 + 7x_2 \leq 20\)

  • \(4x_1 + x_2 \leq 9\)

  • \(x_2 \leq x_1 + 1\)

  • \(x_1 \leq 4\)

Restricciones de rango o positividad:

  • \(x_1, x_2 \geq 0\)