Interpolación cuadrática#

Consiste en aproximar un máximo o un mínimo de cualquier curva a una parabola, el óptimo de esta parabola es el aproximado de la curva de interés.

Es un método cerrado o de intervalo que necesita inicialmente 3 puntos para aproximar a una única parabola, y el máximo de esa parábola es el otro punto

Para que el método funcione entre los 3 puntos debe existir un óptimo.

En la imagen anterior \(x_3\) se calcula como las raices de la derivada de la parábola.

\[ x_3 = \frac{f(x_0)[{x_1}^2 - {x_2}^2] + f(x_1)[{x_2}^2 - {x_0}^2] + f(x_2)[{x_0}^2 - {x_1}^2]}{2f(x_0)[x_1 - x_2] + 2f(x_1)[x_2 - x_0] + 2f(x_2)[x_0 - x_1]} \]

Algoritmo del método#

  1. Se calcula \(x_3\)

  2. Si \(x_3 ≥ x_1 \Rightarrow\) Si \(f(x_3) > f(x_1) ⇒ x_0 = x_1 , x_1 = x_3\). Se recalcula \(x_3\)

  3. Si \(x_3 ≥ x_1 \Rightarrow\) Si \(f(x_3) < f(x_1) ⇒ x_2 = x_3\). Se recalcula \(x_3\)

  4. Si \(x_3 < x_1 \Rightarrow\) Si \(f(x_3) < f(x_1) ⇒ x_0 = x_3\). Se recalcula \(x_3\)

  5. Si \(x_3 < x_1 \Rightarrow\) Si \(f(x_3) > f(x_1) ⇒ x_2 = x_1, x_1 = x_3\). Se recalcula \(x_3\)

Error relativo#

\[ er = |\frac{x_{3-actual} - x_{3-ant}}{x_{3-actual}}|* 100\% \]

Actividad#

Implemente el algoritmo de interpolación cuadrática para el siguiente ejercicio y halle su valor óptimo máximo.

\[ f(x) = 2\sin(x) - \frac{x^2}{10} \]

En el intervalo \(x_0=0\), \(x_1=1\) y \(x_2=4\) con una tolerancia del 1%

## TU CÓDIGO VA ACÁ

## HASTA ACÁ

Tarea#

Ajuste el algoritmo para también determinar los mínimos locales de una función.

## TU CÓDIGO VA ACÁ

## HASTA ACÁ